医疗事故的行政处理方式是解决医疗纠纷、维护医患双方合法权益的重要途径，主要有以下几种：

首先是对医疗事故争议的受理与处理。当发生医疗事故争议时，医患双方可以向卫生行政部门提出处理申请。卫生行政部门在收到申请后，会对申请进行审查，符合规定的予以受理。对于需要进行医疗事故技术鉴定的，卫生行政部门会将有关材料交由负责医疗事故技术鉴定工作的医学会组织鉴定。卫生行政部门会根据鉴定结论，对医疗事故进行相应的处理。如果鉴定为医疗事故，卫生行政部门会责令医疗机构及时采取必要的医疗救治措施，以减轻对患者身体健康的损害。

其次是对医疗机构及其医务人员的行政处分。对于发生医疗事故的医疗机构，卫生行政部门可以根据事故的等级和情节，给予警告、罚款、吊销执业许可证等处罚。对负有责任的医务人员，卫生行政部门可以责令暂停6个月以上1年以下执业活动；情节严重的，吊销其执业证书。这有助于规范医疗机构和医务人员的执业行为，提高医疗服务质量。

再者，卫生行政部门会对医疗事故的赔偿等民事争议进行调解。医患双方可以请求卫生行政部门进行调解，卫生行政部门会遵循自愿、合法的原则，促使双方就赔偿数额等问题达成一致协议。这种调解方式可以避免医患双方通过诉讼等方式解决争议，节省时间和成本，有利于及时化解矛盾。

此外，卫生行政部门还会加强对医疗机构的监督管理，通过定期检查、不定期抽查等方式，确保医疗机构严格遵守相关法律法规和医疗规范，预防医疗事故的发生。对于发生医疗事故的医疗机构，卫生行政部门会要求其进行整改，完善内部管理制度，提高医疗安全意识。

总之，医疗事故的行政处理方式涵盖了争议处理、责任追究、调解和监督管理等多个方面，通过这些方式可以有效地处理医疗事故，维护医疗秩序和医患双方的合法权益。